38届复赛，不要还是只有一个二等奖啊啊啊……
LaTeX的渲染好像没有生效，后面再想办法吧。
一、力学
A、运动学
- 放炮类：
- $\displaystyle \begin{cases} f( x,y,\theta ) =0\ \partial f/\partial \theta =0 \end{cases}$消θ，解$f(x,y)=0$便得到包络线
- 取斜面建坐标系还是以水平垂直
- 跨两个柱子，以从第一个柱子斜抛分析为易
- 两个都是抛体运动要相撞，取以$g$下降的系，则可直线分析
- 有阻力，linkB5
- 求空间中点的速度（eg.交点）：把函数写出来求导，只要把被交的两个函数两边求导然后解$Vx,Vy$就是了
- 圆套圆类：相对运动复杂，算相对算牵连。
- 注意在用$ω∗r$时，是哪个$r$， 会不会是$R−r$。
- A绕O'转，O'绕O转，A→O=(A→O′→O算相对)+(A→O算牵连)
- 科氏力，得判
- 周期类衰减类：
- 运动规律相同无需分段，尽量合成整体考虑
- 等比数列
- 碰地再弹起，有没有水平相对运动，要不要滚，什么时候可以纯滚
- 运动是否会有“相变”，link水平分量和竖直分量谁先衰减完的讨论
B、牛顿运动定律
- 常用绳绕圆筒考虑摩擦模型，不要偷懒简化
- 换系时，系有没有加速度，考虑惯性力，以及惯性力能做功
- $dv/dt=dv/dxdx/dt=vdv/dx$常用代换 想法：实际只有两个变量的微分方程，换一换微元，使两边表面上也只有两个变量 经常用于：暴列微分方程，例如力和$x,v$有关时
- 摩擦力的方向得判断，尤其在相对速度有两个方向的时候，$\mu N$怎么分配
- 取自然坐标系，但注意算出来F也要一路上的m之和
- 求曲率半径
- 建立运动
- 求此处v
- 求an
- $\rho=v^2/a_n$
- 限制条件大赏
- 沿绳方向速度相等，绕过滑轮的绳若无摩擦则两边力亦等大，然若是打结在钉子上，则没有等力的条件
- 接触点法向速度相等
- 轻杆的力可以不沿杆
- 铰链没有力矩，铰链上的杆在垂直杆方向合力矩为0，但可以提供垂直杆的合力
- 杆靠在圆周的一角，接触点的支持力方向垂直杆；杆的一角靠在圆周上，支持力指向圆心
- 边界条件大赏
- $N=0$脱离（常见于圆弧面，为保持圆周运动需提供向心力，离心力=向心部分合力； 亦见于平面斜靠杆，取质心系，水平向惯性力（平动加转动）=水平其他合力）
- $f=\mu N$滑动
- $v=\omega r$纯滚
- 各种坑大赏
- 来回还是分半，乘2除2坑注意
- 列微分方程时注意符号，时刻以初态判
- 运动于此处的曲率半径，需判（link是否作椭圆运动）
- 有摩擦弹簧振子，平衡在$\mu mg>kx$处
- 基本做题步骤
- 想象情景，选择运动简单的系
- 分析受力，列牛二
- 判断几何关系，限制条件，边界条件
- 解微分方程
C、基本守恒量
- 能量（机械能），动量，角动量，问问自己守恒的条件，以及取了什么系统
- 拐直角弯总怀疑有碰撞和能量损失，然桌角视为微小圆弧，可细算（link珍题），$r\rightarrow 0$可认为是能量守恒
- 一物将一坨绳带起来，算完全非弹性碰撞，有能量损失
- 轻绳摆过去，撞到一个钉子，摆长变化，能量不损失
- 变质量无内能有受力类（水滴下落吸附，球把绳子往上带）
- 列动量方程$d(mv)=F(v,x,t)dt$
- 列$dm=f(t)dt$
- 将动量里的$dt$用$dm$替代，有$v$就配个$m$往左放，左边$mv$整体积分，右边对$m$积分，得到$v=v(m)$
- 再积一下$dm=f(t)dt$,得到$m=m(t)$换进$v$去，得到$v=v(t)$
- 变质量有内能有受力类（火箭，光子火箭，水火箭）
- 计算“燃气”速度，注意是相对火箭还是相对地
- 列动量定理，或美称之曰“密舍尔斯基方程”，$mv-mgdt=(m+dm)(v+dv)-udm \Rightarrow mdv=-mgdt+dm(u-v)$ 其中u是绝对速度，$u,v$皆以向上为正，dm以增大为正（故dm为负，小心了！），故若相对火箭速度恒定，单位时间喷质量亦恒定，则好积分矣
- 一般这时候就没法简单凑mv的全微分了，但是可以暴积加速度得速度，再积就是位移
- 有受外力之物难以分析，以之为系，取受系统内力之物对其动，分析较易
- 和一个环在里面碰碰碰，取环为系，初末态考究 （甚至有洛伦兹力也可以这么做，低速的系不影响B，至少能便利算碰撞的时间间隔，以及碰撞发生的方向）
- 小气的几样东西动来动去类
- 质心没有位移？水平动量守恒？
- 二体碰撞？取质心系，最大可能能量损失为资用能。
- 换系，考虑各种速度关联？
- 天体运动各类常用结论&模型
- 比耐方程，用$\omega$里的dt来代替dt，使方程不含t，用u=1/r代替r，用L守恒量，写牛二，记得算$\dot{r}$和$\ddot{r}$时要一个个算循序渐进，并且时刻记得用L守恒量去把东西代掉，否则就不好推。后带入F的形式，平方反比，可迅速得出椭圆。
- 开普勒定律，很基本，但是好用
- 二体质量差不大时，绕质心转，如何考虑等效需细想，不是约化质量，R～Rc的变化是平方的，把万有引力完整写出来才好作类比
- 直线看成椭圆的极限，另外注意来回的问题
- 用面积速度的时候注意三角形面积要除以2
- 用好有心力L守恒，注意L=mvr的v只是切向速度，以及思索什么时候的v是只有切向的（转折点，或者说r极值点）
- 总能量$E=-\frac{GMm}{2a}$（为负号表示椭圆运动），=0则抛物线，正号为双曲线
- 引力弹弓，其好处就是在于在木星参考系下V⊥和V∥（V∥相对日-V木），保持能量守恒下变得只有V∥（与木星轨道相切的方向），换回太阳参考系又能再叠上V木，使绕日的轨道速度大增。实际上是白嫖了木星的一部分轨道能量，只是对于木星微不足道。
- 有效势能$E=U(r)+{L^2}/{2mr^2}$，即考虑进了惯性离心势能（它是正的！） 此可用于算轨道进动，以$F=dE/dr$算回复力（令$r=r_0+\delta$，用$\delta$算），得到径向振动的$\omega_r$，进动角速度$\omega_p =\omega_r -\omega_o$，乃长轴转动的角速度，与原轨道转动方向相反为正
- 各种坑大赏
- 选取势能零点（引力势能，在气团时；电学里更坑，link珍题），势能类坚定地以无穷远为0，其他类定好标准后不要乱
- 运动有“相变”，eg.会脱离作斜抛
- 万有引力，气团或者星体打洞，M会变
- 基本做题步骤
- 想象情景，判断守恒量
- 列初态和末态
- 判断几何关系，限制条件，边界条件
- 解微分方程
D、静力
- 问内力
- 解开约束
- 虚功原理or静力平衡
- 问平衡
- 力平衡+力矩平衡 对于力比较少的情况，可以三力汇交省去力矩平衡（eg.引入全反力，由可行的方向确定$\mu$的范围）
- 列几何关系以及限制方程和边界方程
- 问稳定：
- 取一个合适的变量，以单自由度表达整个系统的状态（如果不是单自由度就坏了）
- 写势能，求一阶导为0，二阶导为正，则稳定；若二阶导为0，则求三阶导为0，且四阶导为正，则稳定
E、刚体
- 质心
- 质心运动定理，$F_{合外}=m*a_c$
- 柯尼希定理和类似定理，$E_合=E_c+E_{相对C}$，$L_合=L_c+L_{相对C}$，$I_合=I_C+mL_C^2$，以及只能取质心这么操作
- 碰撞
- 动量守恒，角动量亦守恒（系统取同一个轴研究时）
- 完全弹性碰撞地撞刚体，碰撞点瞬时符合$V_相$保持不变的条件
- 设Vc和$\omega$，解就完事了
F、振动波动
- 求小振动的频率
- 找到单自由度的合适坐标（建议：先写多自由度的，再写自由度之间的关联限制方程，不要一次性取一个广义坐标，易错）
- 写$E_k(x^2)+E_p(\dot{x})=Const$，求导得$\ddot{x}=-\omega ^2 x$，即可
- 简振模
- 我赌不会考
- 写出多个自由度下的多个牛顿第二定律
- 设这些自由度都是$x_i=A_i cos(\omega t)$，代入上面牛二，得到一组$f(\omega,A_i)=0$
- 整理为一组$\Sigma k_i A_i=0$的形式
- 以A为变量，这个线性方程的系数行列式要求为0，解出$\omega$的多个可能解，每个$\omega$都是一个可能的简谐振动模式
- 如果几个自由度之间还不独立，则需找到一套相互独立的简正坐标……
- 阻尼振动 $\ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=0 \Rightarrow $特征方程$x^2+2\beta x +\omega_0^2=0$，$\Delta=4(\beta^2-\omega_0^2)$，解为$x_1,x_2$
- $\beta=\omega_0 \Rightarrow x=e^{-\beta t}(A+Bt)$ 临界阻尼
- $\beta>\omega_0\Rightarrow x=Ae^{-x_1t}+Be^{-x_2t}$过阻尼
- $\beta<\omega_0\Rightarrow x=Ae^{-\beta t}cos(\omega t+\varphi)$欠阻尼
- 受迫振动 $\ddot{x}+2\beta \dot{x}+\omega_0^2x=h*cos(\omega t+\varphi_1) $存在相位是因为主动力也将有收到阻尼
- 解为$x=Bcos(\omega t+\varphi_1+\varphi_2)$
- 重弹簧
- 用两套坐标，$l/l_0=u/u_0$，$l$是现总长，$l_0$是原长，$u$是现长对应位置，$u_0$是原长对应位置
- $k\frac{L}{dx}du=F,dF=dm*\ddot{u}=m\frac{dx}{L}\ddot{u} \Rightarrow \frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{m}{kL^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$，得到波动方程，其中波速$v=m/(kL^2)$
- 传统能量法，Ep还是$1/2*ku^2$，Ek增加弹簧的动能项，对于求重弹簧振子的频率还是很方便
- 简谐波
- 波动方程$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{m}{kL^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$其解为$u(x,t)=A(x)cos(\omega t+\varphi)=Acos(\omega x/v+\varphi_A)cos(\omega t+\varphi)$
- 各种波速：绳波$v=\sqrt{T/\rho}$ 声波 ……
- 能流：$S=1/2 *\rho v \omega ^2A^2$
- 多普勒公式，上接下发，速度分解到相对位移方向，靠近则频率升
G、其他
- 取无量纲数整体定为一符号以简便计算时，就会没法通过量纲检查计算，注意之
二、电磁学
A、静电
- 高斯定理，环路定理，避免积分，但注意使用条件
- 无限大带电导体平板，由于板内没有E，故$E=\sigma/\varepsilon_0$，而板内没有E是极化电荷的贡献，也可认为$E=\sigma/2\varepsilon_0 *2$
- ......
- 用矢量，有时对叠加大有便利
- 不要忘了F要是r的平方分之一，此愚钝错误已不止一次
- 有限长直导线，可当作一个圆弧，以受力点为圆心，如此方向易判，然大小反正还是一通积分
- 等势线，U=Const，写$U(x,y)=Const$得，而电场线则需由处处垂直等势线解微分方程
- 相连是U相等，并非Q相同，相同电容串联Q均分是建立在初态没有电荷的基础上
- 不要得意太早，电路换掉电容的电量朝那边要注意 以及初始有电荷的电容处理问题……
- 电介质极化相关
- 导体：
- 内无电场线，整体等势
- 电荷分布于表面，表面电场垂直于表面
- 在曲率半径小处，电荷面密度大
- 导体内电荷处处为0（指导体所占的空间），导体空腔内可以有电荷
- 带空腔导体，腔内有自由电荷q则腔内壁感应为-q，腔内无自由电荷则腔内壁也不会有（静电屏蔽）
- 接地则腔内外的电场电势互不影响，不接地则仅外不影响内
- 电介质：
- 极化强度矢量$\vec{P}=X_e\varepsilon_0\vec{E}=(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0\vec{E}$，乃单位体积分子偶极矩之和，$\vec{P}=nq\vec{l}\Rightarrow -\oiint\vec{p}d\vec{s}=\iiint\rho'dV$
- 表面极化电荷密度，在电介质界面取一扁盒高斯面，$\sigma_e'\Delta S=-(\vec{p_2}-\vec{p_1})·\vec{n}\Delta S \Rightarrow \sigma_e'=-(\vec{p_2}-\vec{p_1})·\vec{n} $，1指向2为正
- 定义电位移矢量$\vec{D}＝\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$，均匀极化时，为$\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$，有D的高斯定理$\oiint\vec{D}·d\vec{S}=Q_内$，不显含极化电荷
- 仍取扁盒高斯面，有$D_{n2}-D_{n1}=\sigma_{e0}$，一般的电介质界面没有自由电荷，故得到D的法向分量连续
- 介质中仍满足环路定理$\oint\vec{E}·d\vec{l}=0$，仍取一扁环路，得到E的切向分量连续
- 于介质界面$\sigma_自=D_n,\sigma_极=-P_n,\sigma_总=\sigma_自+\sigma_极=\varepsilon_0E_0$
- 对于介质界面与等势面重合的情况，算出没有电介质的E，有电介质处除以$\varepsilon_i$即可
- 对于介质界面和等势面垂直的情况，算出没有电介质的E，有介质的部分设为$\alpha E$，再用D的高斯定理通过Q定出$\alpha$
- 导体：
- 电像法，以及可能的无穷电像（先搞大的，再慢慢修正）
- 电磁场边界条件……
- 求完电像，问电荷分布，将像电荷和原电荷在该点的合电场E乘以$\varepsilon_0$便得
- 真空中电场能量密度$w_E=1/2*\varepsilon_0E^2 $
B、静磁
- BSL定律中的$d \vec{r}$方向是电流点到所求点方向
- 安培环路定理只能用于完整电流（link珍题）
- ……
C、电磁感应
- 基本
- 先设电流
- 再解受力，列牛二
- 再由电路，列回路
- 解方程
- 自感互感：$\varepsilon_1=LdI_1/dt±MdI_2/dt$，M12=M21，$M=k\sqrt{L1L2}，k<1$，串并联等效电感由$\varepsilon$和$dI/dt$关系现推
D、直流电
- 微分计算类
- 欧姆定律微分形式$E=\rho j=j/\sigma$
- 高斯定理微分形式$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\rho_e/\varepsilon_0$
- 电荷守恒$\vec{\nabla}\cdot\vec{j}+d\rho_e/dt=0$
- 介质方程$\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$
- 算大块物中电荷密度，就用$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}$，在一个变量时为$dE/dx$，E由$\rho j=j/\sigma$得。另注意高斯定理中的$\nabla$只对$\rho$操作，不对$j$操作，哪怕$j$也是变量
- 列完上面四个式子一般就是瞎几把解了
- 电阻网络类
- Y-∆变换，先全局观地规划一下再变，目标是变成只有串并联
- 自相似
- 叠加原理
- 基尔霍夫
- 对称性。两种类型：等势线平行对称线，则算半个网络，对称线上全部连起来；等势线垂直对称线，则对折。
- 拍扁，等势的地方随意通断
- 从一个角算起，可能可以连锁反应
- 电容以倒数等效为电阻
- 简单电路可用YKK传统艺能“汉堡”
- 叠加原理什么都能叠，比如叠个本底
- 无穷网络用电流分布法，进一个出一个
- 杂七杂八类
- 等效电压源，等效电流源
- 基尔霍夫：逆这电流走升压，从电源负到正升压。有时也可以设节点电势而非回路电流，看哪个变量少。
E、交流电
- 用复数
- 注意我们用的是复有效值来列式，然后$e^{i\omega t}$会消掉，“有效值”即220（峰值$220*\sqrt2$），然后Z用iwL和1/iwC和R便可
- 计算功率，理应是复数电压电流取实部，再乘起来；然也可以有平均功率$
- 取模还是取实部
- 功率因数和视在功率
- 谐振
- 串联谐振电流极大，并联谐振电流极小
- 列回路方程，与力学中阻尼振动受迫振动类似
- 更好是用复数，直接看复阻抗的模大小
- 品质因数Q……
- 变压器
- $U1/U2=n1/n2 , I1/I2=n2/n1，R_等效=R*(n1/n2)^2$
- 阻抗匹配：电源内阻大而负载内阻小，用变压器升等效阻抗，提高电源的输出功率和效率
- 超导线圈+磁感应
- Br和Bn的关系，高斯定理得之
- 超导的性质：无R，$\phi$定
- 超导有L，列电和力就是了
- 三相电
- ……
三、热学
0.符号声明：N粒子总数 ，$\displaystyle n=N/V$粒子数密度 ，$\displaystyle \nu =n/N_{A}$粒子总摩尔数
-
理想气体：忽略气体分子的自身体积，将分子看成是有质量的几何点；假设分子间没有相互吸引和排斥，即不计分子势能，分子与器壁之间发生的碰撞是完全弹性的，不造成动能损失。
- 理想气体状态方程：$\displaystyle pV=nRT$ 普适气体常量：$\displaystyle R=\frac{p_{0} \omega {0}}{T{0}}$，其中$\displaystyle p_{0} =1atm,\omega {0} =22.4L/mol,T{0} =273.15K$
- 分子平均动能：$\displaystyle \overline{\varepsilon } =\frac{1}{2} m\overline{v^{2}} =\frac{3}{2} kT$，其中$\displaystyle k=R/N_{A}$。 阿伏伽德罗定律表明，K,R,$\displaystyle N_{A}$是普适的
- 理想气体压强公式：非相对论情形$\displaystyle p=\frac{2}{3} n\overline{\varepsilon }$ 极端相对论情形$\displaystyle p=\frac{1}{3} n\overline{\varepsilon }$
推导：取$\displaystyle \Delta S$被穿过，运用热平衡条件说明动量和速度分布各向同性，代动能值$\displaystyle \varepsilon $推出压强公式，再带入理想气体状态方程，得到动能公式 - 道尔顿分压定律：混合气体压强=分压强之和，各组分的压强和能量分别满足各自的动能和压强公式
- 概率密度：$\displaystyle d\mathscr{P}( x) =f( x) dx$，事件在x～x+dx间的概率密度为f(x)。 需满足归一化条件$\int f( x) dx=1$ 概率密度在xyz系：$\displaystyle \mathscr{P} =f( x,y,z) dxdydz$ 在$\displaystyle r\theta \varphi $系：$\displaystyle \mathscr{P} =r^{2} sin\theta f( r,\theta ,\varphi ) drd\theta d\varphi $
- 麦克斯韦速度分布律，在速度空间，因为有各向同性，故以极坐标表示便利 $\displaystyle F_{M}( v) =4\pi v^{2} f( v) =4\pi v^{2}\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-mv^{2} /2kT}$ ，概率分量用速度分量代即可
- 推导得：方均根速率$\displaystyle \sqrt{\overline{v^{2}}} =\sqrt{3kT/m}$ ，平均速率$\displaystyle \overline{v} =\sqrt{8kT/\pi m}$ ，
泻流速率(单位时间单位面积小孔泻出的分子数$\displaystyle \Gamma $，$\displaystyle \Gamma =n\overline{v^{+}{x}}$)，$\displaystyle v^{+}{x} =\overline{v} /4$
泻流可使质量小的气体分子被富集，且可多次进行泻流，eg分离U-238和U-235 - 等温大气模型（实际上垂直方向有温度梯度，此仅为地表附近的近似） 平衡气体在重力场中密度随高度变化，认为大气等温$\displaystyle dp/dz=-nmg$,代理想气体状态方程,积分,$\displaystyle p( z) =n_{0} e^{-mgz/kT}$
- 玻尔兹曼密度分布律。 将上面的等温大气模型 推广到任意势场，$\displaystyle n( r) =n_{0} e^{-U( r) /kT}$
- M-B能量分布律，在相空间，把麦克斯韦和玻尔兹曼乘起来 $\displaystyle f_{MB}( r,v) =n_{B} f_{M} =n_{0}\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-\varepsilon /kT} ,\varepsilon =\varepsilon _{k} +\varepsilon _{p}$
-
实际气体：范德瓦尔斯气体$\displaystyle （p+\frac{\nu ^{2} a}{V^{2}})( V-\nu b) =\nu RT$， 其中$\displaystyle b$是1mol气体占有体积，$\displaystyle a$是分子间吸引所致压强的一个比例系数
- $\displaystyle T_{B} =a/( Rb)$ 这时物态方程与理想气体玻意耳定律偏离最小，称玻意耳温度
- 范德瓦尔斯等温线，临界点(气液差别消失)K点的$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right){T} =0\ ,\ \left(\frac{\partial ^{2} p}{\partial V^{2}}\right){T} =0$， 解得$\displaystyle T_{K} =\frac{8a}{27Rb} \ ,V_{K} =3\nu b ,p_{K} =\frac{a}{27b^{2}}$
-
能量均分定理：物质（气液固）分子每个自由度有相同的平均动能（用MB分布证明）
- 在振幅不大时，我们假设振动是简谐的，则分子运动的总能中振动动能和势能各$\displaystyle \frac{s}{2} kT$ 故分子总能量为$\displaystyle \overline{\varepsilon }$=$\displaystyle \frac{1}{2}( t+r+2s) kT$，t平动，r转动，s振动。 单原子t3r0s0，双原子t3r2s1，s1可能不激发
- 推导摩尔热容$\displaystyle C^{mol}{V} =\frac{dQ}{dT} =\frac{dU^{mol}}{dT} =\frac{N{A} \Delta \overline{\varepsilon }}{\Delta T} =\frac{1}{2}( t+r+2s) R$ 由$\displaystyle N_{A} k=R$
- Dulong-Petit定律，固体看作三个自由度的振动，则摩尔热容为$\displaystyle C^{mol} =3R$
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热力学第零定律：AB达到热平衡AC也达到热平衡$\displaystyle \rightarrow $BC也热平衡
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热力学第一定律：能量守恒$\displaystyle \Delta U=A+Q$ (A&Q是外给内的功&能量，而A'Q'是内给外)。
- 在准静态过程（进行足够缓慢以致系统连续经过中间态都可近似看作平衡态）中$\displaystyle dU=dA+dQ$ ，A&Q不是态函数，它们的改变量与过程有关，故d不是全微分
- 体积膨胀时系统对外做功$\displaystyle dA‘=pdV$
- 内能$\displaystyle U$ 等体热容$\displaystyle C_{V} =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right){V}$ 焓$\displaystyle H=U+pV$ 等压热容$\displaystyle C{p} =\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right){p}$ $\displaystyle C{p} =C_{V} +\nu R$
- $\displaystyle \gamma =C_{p} /C_{V}$
- Joule-Thomson效应：绝热节流过程，等焓。一般制冷，但对于H2&He制温。 对于理想气体不存在此效应，温度不变。
- 几个过程：$\displaystyle 等温：dT=0 \ from\ PV=nRT\ ,\ we\ got\ \underline{\underline{PV=C}} \ A=-\int PdV=-\int \frac{nRT}{V} dV=-nRT\ ln\frac{V_{2}}{V_{1}} $ $\displaystyle 绝热：dQ=0 \ from\ dU+PdV=0\ \ we\ got:\gamma \ lnV=-lnP+C \ \therefore \ lnV^{\gamma } +lnP=C'\ \ \ \therefore ln\left( PV^{\gamma }\right) =C'\therefore \underline{\underline{PV^{\gamma } =C''}} \ from\ PV=nRT\ ,\ we\ got:\ \underline{\underline{TV^{\gamma -1} =C''}} \ ,\underline{\underline{P^{1-\gamma } V^{\gamma } =C}} ''\ \ A=-\int PdV=-\int \frac{C}{V^{\gamma }} dV=\frac{CV^{1-\gamma }}{1-\gamma } |^{V_{2}}{V{1}} =\frac{P_{2} V_{2} -P_{1} V_{1}}{1-\gamma } $ $\displaystyle 等体：dV=0 \ from\ PV=nRT\ ,\ we\ got\ \underline{\underline{P/T=C}} \ A=-\int PdV=0 $ $\displaystyle 等压：dP=0 \ from\ PV=nRT\ ,\ we\ got\ \underline{\underline{V/T=C}} \ A=-\int PdV=-P( V_{2} -V_{1}) $
- 绝热大气模型 对绝热方程做微分，代入$\displaystyle dp=-\rho gdz\ ,$$\ pV=nkT\ ,\ \rho =nM^{mol} /N_{A}$ $\displaystyle pdV+Vdp=\nu RdT,$$dA=-pdV=C_{V} dT+\Lambda ^{mol}{汽化} d\nu {汽} ,$用$c{汽} =\nu {汽} /\nu$ 表示水蒸气摩尔分数，其中$\nu $为空气的摩尔数 得到$\displaystyle \frac{dT}{dz} =-\frac{\gamma -1}{\gamma }\left(\frac{M^{mol} g}{R} +\frac{\Lambda ^{mol}{汽化} dc{汽}}{Rdz}\right)$ 饱和绝热递减率SALR，比干绝热递减率DLAR（少去汽化项）绝对值小，造成焚风效应
- 循环过程：系统从某个状态出发，经过任意一系列过程，回到原来的状态。顺时针为正
- 准静态循环过程，由热力学第一定律证得$\displaystyle { \int _{循环} dQ/T=0}$，说明那是一个态函数。 定义其为--熵 link玻尔兹曼熵：$\displaystyle S=kln\Omega $ 玻尔兹曼承认各量子态是等概率的，认为宏观态出现的概率正比于其中量子态的数目$\displaystyle \Omega $
- 卡诺循环$\displaystyle 热机：Q_{1} =A'+Q_{2} ' \ \eta =\frac{A'}{Q_{1}} =1-\frac{Q_{2} '}{Q_{1}} =1-\frac{T_{2}}{T_{1}} $ $\displaystyle 制冷机：Q_{2} +A=Q_{1} ' \ \eta =\frac{Q_{2}}{A} =\frac{Q_{2}}{Q_{1} '-Q_{2}} =\frac{T_{2}}{T_{1} -T_{2}} $
-
热力学第二定律：克劳修斯表述--不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化 开尔文表述--不可能从单一热源吸收热量，使之完全变为有用的功而不造成其他影响。 开尔文表述2--第二类永动机不可能
- 卡诺定理：在相同高/低温热源之间工作的一切可逆热机$\displaystyle \eta $相等，不可逆热机$\displaystyle \eta _{不可逆} < \eta $
- 以卡诺热机效率与工质无关，可以定义热力学温标$\displaystyle \frac{Q_{2} '}{Q_{1}} =1-\eta =\frac{T_{2}}{T_{1}}$
- 热机效率等式$\displaystyle \eta =\frac{\Delta A'}{\Delta Q_{1}} =\frac{\Delta T}{T}$，得$\displaystyle \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right){T} =T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right){p} -p$ ,$\displaystyle \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right){T} =-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right){p} +V$
- 克拉珀龙方程$\displaystyle dp/dT=\Lambda ^{mol} /T\left( V^{mol}{\beta } -V^{mol}{\alpha }\right)$,T为$\displaystyle \alpha \rightarrow \beta $相变时温度
- 克劳修斯不等式$\displaystyle { \sum Q_{i} /T_{i} \leqslant 0}$，等于时可逆，小于时不可逆。也可写作$\displaystyle { \int dQ/T\leqslant 0}$
- 定义对于可逆过程其克劳修斯熵$\displaystyle \Delta S=S_{2} -S_{1} ={ \int dQ/T}$，其与玻尔兹曼熵是一致的
- 熵的计算：$\displaystyle \Delta S={ \int C_{V} dT/T+\int ( \partial p/\partial T){V} dV,\Delta S=\int C{p} dT/T-\int ( \partial V/\partial T){p} dp}$
理想气体的$\displaystyle { \int ( \partial p/\partial T){V} dV=\int pdV/T=\nu Rln( V_{2} /V_{1})} \ { \int ( \partial V/\partial T){p} dp=\ \int Vdp/T=\nu Rln( p{2} /p_{1})} $
混合产生的熵$\displaystyle \Delta S=-\nu R{ \sum } c_{i} lnc_{i} \ ,c_{i} =\nu _{i} /\nu $
相变产生的熵$\displaystyle \Delta S=\Lambda /T$ - 熵增加原理：从一个平衡态到另一个平衡态，熵不变(可逆过程)或变大(不可逆过程)
- 热平衡的判据：d自由能=0。定体 亥姆霍兹$\displaystyle F=U-TS$；定压 吉布斯$\displaystyle G=H-TS$
热平衡的条件：温度相等，压强相等，化学势相等
-
平均自由程$\overline{\lambda } =\overline{v}\overline{\tau } =\overline{v} /\overline{\omega } \ \ ,\ \tau $自由飞行时间，$\omega$ 碰撞频率
- 麦克斯韦平均自由程公式$\displaystyle \overline{\lambda } =1/{\sqrt{2} n\sigma \ } $, 碰撞截面$\sigma =\pi d^{2} ,d $为有效直径
- 自由程大于$\displaystyle l$的概率:$\displaystyle P( l) =e^{-l/\overline{\lambda }}$
-
输运过程
- 牛顿黏性定律$\displaystyle f=-\eta \frac{du}{dz} \Delta S,\eta =\rho \overline{v}\overline{\lambda } /3$
- 傅立叶热传导定律$\displaystyle H=-\kappa \frac{dT}{dz} \Delta S,\kappa =c_{V} \rho \overline{v}\overline{\lambda } /3$
- 菲克扩散定律$\displaystyle J=-D\frac{d\rho }{dz} \Delta S,D=\overline{v}\overline{\lambda } /3$
四、光学
0.绪论
0.1光发射的分类:热辐射(太阳/白织灯)非热发射(电致发光/荧光/磷光/化学发光/生物发光)
0.2可见光$ \lambda =400\sim 760nm$中位约$ 550nm$绿色
0.3光度学和辐射度学
0.3.1光强(这个光强指辐射强度):光在单位面积上的功率(能流密度).由坡印亭矢量$ \mathbf{S} =\mathbf{E} \times \mathbf{H}$决定,$ E\perp H,\sqrt{\varepsilon \varepsilon _{0}} E=\sqrt{\mu \mu _{0}} H$,磁化机制在光频波段一般不起作用$ \mu =1,n=\sqrt{\varepsilon \mu } ,c=1/\sqrt{\varepsilon {0} \mu {0}}$$ \Longrightarrow S=nE^{2} /c\mu {0}$,又$ \overline{E^{2}} =E^{2}{0} /2$(此处$ E{0}$指光振幅)$ \Longrightarrow I=nE^{2}{0} /2c\mu _{0}$
0.3.2辐射能通量$\Psi =\int \psi ( \lambda ) d\lambda $,$ \psi ( \lambda )$称为辐射能通量谱密度
0.3.3视见函数$ V( \lambda ) =\Psi _{555} /\Psi {\lambda }$在较明亮环境中人眼对555$ nm$最敏感(在暗的环境中此向短波偏移),对$ \lambda $的光需要$ V( \lambda )$倍能量才能和555$ nm$看起来一样亮
0.3.4光通量$ \phi =\int V( \lambda ) \psi ( \lambda ) d\lambda $适于人眼看到的感觉
0.3.5发光强度(点光源)$ I=d\phi /d\Omega $,即光通量/立体角.即0.3.1的光强乘上$ V( \lambda )$
0.3.6光度学亮度:对于拓展光源,每块面元$ dS$沿某方向$ \mathbf{r}$有一定的发光强度$ dI$,它的投影面积为$ dS^{} =dScos\theta $,面元沿此方向的光度学亮度$ B$为此方向上单位投影面积的发光强度$ B=dI/dS^{}$
0.3.extra:辐射某某(辐射度学)和光某某(光度学)之间差一个视见函数$ V( \lambda )$,光度学在乎的是人眼所见($ lm$流明),辐射度学在乎的是能量输出($ W$瓦)
0.3.7余弦发光体:满足朗伯余弦定律,$ dI\varpropto cos\theta $,远处看来,与一个圆盘在均匀发光无异.好的漫反射面也可看作朗伯发光体
0.3.8照度$ E=d\phi /dS$单位面积的光通量
0.3.9坎德拉$ 1cd=( 1/683) W/sr$ ,$ sr$为立体角,使用$ 540THz$(约$ 555nm$)的单色光,即定义最大光功当量$ K{max} =683lm/W$.亮度单位$ lm/\left( m^{2} \cdotp sr\right)$照度单位$ lx=lm/m^{2}$
1.几何光学绪论
1.1几何光学三定律
1.1.1光在均匀介质中按直线传播
1.1.2反射定律:$ i_{1} =i_{2}$
1.1.3折射定律(Snell定律):$ sini_{1} /sini_{2} =n_{12} =const$
1.2全反射:$ i_{c} =arcsin( n_{2} /n_{1})$光密到光疏
1.3渐变折射率光导:$ n( r) \cdotp cos\theta ( r) =const$,$ r$为折射率改变方向(竖直方向),$ \theta $为光传播方向和水平 ($ z$方向)的夹角.可推出$ \frac{d^{2} r}{dz^{2}} =\frac{1}{2n^{2}_{0} cos^{2} \theta {0}}\frac{dn^{2}}{dr}$
1.4棱镜:最小偏向角$ \delta {min}$在$ i{1} =i{1} ’$取到,有$ nsin\frac{\alpha }{2} =sin\frac{\alpha +\delta {min}}{2}$,由$ \delta $对$ i{1}$求导为0可证明
1.5光路可逆
1.6惠更斯原理:波面上的每一个面元可认为是次波的波源,这些次波面的包络面是总扰动的平面
1.7费马原理:光程$ L=\int ndl$ 光线在实际路径上光程的变分为0,即路径是平稳的(stationary).⟹可导出物像之间等光程(虚物虚像用虚光程为负的,物的折射率用物方的,像的折射率用像方的).
2.几何光学成像
2.1等光程面-难以达成.但是可以找到一对特殊的共轭物像点(齐明点)它们之间等光程,可以宽光束成像
2.2符号法则:入射光从左到右,A为光学面顶点,光学玻璃在右,s为到A距离,x为到F距离
2.2.1Q在A&F左(实物),s&x为正;Q在A&F右(虚物),s&x为负
2.2.2Q'在A&F'右(实像),s'&x'为正;Q'在A&F'左(虚像),s'&x'为负.反射时,左右反一反,像的实虚不用变
2.2.3光学玻璃的球心C在A右,r为正;C在A左,r为负
2.2.4共轭点P&P'在光轴上方,y&y'为正;在其下方,y&y'为负
2.2.5光轴转到光线方向,逆时针则交角u为正,顺时针则交角u为负
2.3普适公式$ \frac{f}{s} +\frac{f'}{s'} =1$ .横向放大率$ V=y'/y$有正负,逐次成像$ V=\prod V_{i}$ .角放大率$ W=tanu/tanu'$
2.4球面折射傍轴成像$ f=\frac{nr}{n'-n}$, $ f'=\frac{n'r}{n'-n}$ ,$ V=-\frac{ns'}{n's}$
2.5球面反射傍轴成像$ f=f'=-r/2$ ,$ V=-s’/s$
2.6Lagrange-Helmholtz定理:$ ynu=y’n'u'=const$在多次傍轴成像中保持不变 Helmholtz公式:$ yntanu=y’n'tanu’$折射球面能使空间内所有点任意宽光束
2.7薄透镜d→0 , $ f=\frac{n}{( n_{L} -n) /r_{1} -( n'-n_{L}) /r_{2}}$ , $ f'=\frac{n'}{( n_{L} -n) /r_{1} -( n'-n_{L}) /r_{2}}$ 一般情况$ n=n’=1$. $ V=-s'/s$ . 牛顿公式$ xx'=ff'$
2.8密接透镜组:定义光焦度$ P=1/f$ , $ P=\sum P_{i}$
2.9作图法:1)物像方折射率相等时透过光心O的方向不变
2)通过物方焦点F的光线经过透镜后平行于光轴射出
3)平行于光轴的光线经过透镜后通过像方焦点F'
4)找到上面三条线中的两条,其交点即为像点P'
2.10理想光具组:物像方共轭.若是轴对称的,则还有:光轴上的共轭点还在光轴上/垂直于光轴的平面其共轭面仍与光轴垂直/垂直于光轴的同一平面内放大率相同/垂直于光轴的不同平面一旦横向放大率相等,则处处都相等(称其为一个望远系统)
2.11基点基面法求理想光具组的等效透镜(跳)
2.12光阑.真正决定光束孔径的光阑叫孔径光阑.被限制的光束中边缘光线的$ u,u’$称为入射/出射孔径角 找到孔径光阑在物方/像方的共轭像并视其为一种虚构光阑,称其为入射/出射光瞳.视场光阑,由物空间中多光阑或其像对入射光瞳中心所张的最小角决定.
2.13光学仪器(跳)像差(跳)像的亮度(跳)
3.干涉
3.1 光独立传播(并不是总是成立,比如有玻璃透光程度受光强影响,或在强光下变色) 光可以线性叠加(并不是总是成立,符合此条件的称为线性介质)
3.2波的叠加引起强度重新分布--波的干涉. $ \Delta L=k\lambda $极大$ \Delta L=( k+1/2) \lambda $极小
3.3几种干涉装置(跳)
3.4干涉条纹的移动
条纹位移$ \delta x=-( D/R) \delta s$点源位移,光源宽度的极限$ \delta s_{max} =R\lambda /d$ ($ \delta x=\Delta x$条纹宽度)
3.5衬比度$ \gamma \equiv ( I_{max} -I_{min}) /( I_{max} +I_{min}) \ \in [ 0,1]$ 其中$ I\varpropto A^{2} ,A\varpropto A_{0} /r$
3.6Stokes关系$ r=-r',r^{2} +tt'=1$ , $ r&t$指膜内到膜外,$ r'&t'$指膜外到膜内.变成复数表示仍可.
3.7Fabry–Pérot干涉:多光束干涉,用虚数表示相位,再等比数列求和求.此物的色散本领$ \lambda /\delta \lambda $好
4.衍射
4.1波遇到障碍物时会偏离直线传播-波的衍射
4.2Huygens–Fresnel原理:波前$ \sum $上每个面元$ d\sum $都可以看作新的振动中心,它们发出次波,在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点的相干叠加
4.3Fresnel-Kirchoff衍射积分:$ \overset{{ \sim }}{U}( P) =\frac{-i}{2\lambda }\iint ( cos\theta {0} +cos\theta )\overset{\sim }{U}( Q)\frac{e^{ikr}}{r} d{\textstyle \sum }$ 字符声明:S为光源,在波面$ \sum $上一点Q,外还有一点P,$ d\sum $的法向为$ \mathbf{n}$. SQ与$ \mathbf{n}$夹角$ \theta {0}$,QP与$ \mathbf{n}$夹角$ \theta $,SQ=R,QP=r,积分为$ d\sum $面积分. 傍轴情况则有$ \theta =\theta {0} =0$,$ r=r{0} =const$
4.4Babinet原理:互补屏造成的衍射场中复振幅之和等于自由波场的复振幅.即可以方便地由互补衍射屏的衍射图样得出原衍射屏的衍射图样.
4.5菲涅耳衍射-距离有限远
4.5.1半波带法⟹分割波前为一系列环带到P逐次差半个波长⟹自由传播时整个波前在$ P{0}$的振幅是第一个半波带的效果的一半.
4.5.2矢量图解法⟹分成更细的波带,相邻环带到P差$ \pi /m$的相位,将A首尾相接方向逐个旋转$ \pi /m$,然后看合振动为何
4.5.3菲涅耳波带片:半波带半径$ \rho {k} =\sqrt{\frac{Rb\lambda }{R+b} k} \ ,k\in Z^{+}$,若是平行光则$ R\rightarrow +\infty $.(S波源,O波面顶点,P波外一点,SOP共线,波面上一点M,SM=R,MP=r,OP=b,MO$ \approx \rho $,傍轴近似)将奇数/偶数半波带涂黑,则制成了菲涅耳波带片,其使轴上距离波带片$ f=\rho ^{2}{1} /\lambda $处光强增加多倍,另外$ f/3,$ $ f/5,$ $ f/7\dotsc $的光强也将有所增大. 有近似透镜成像的公式$ 1/R+1/b=1/f$.
4.6夫琅禾费衍射-距离无穷远(菲涅耳衍射的极限)
4.6.1单缝衍射的强度:设像屏上正中的光强为$ I{0}$,在与光轴呈$ \theta $的光线所指点P的光强为$ I_{\theta }$,$ I_{\theta } =I_{0}( sin\alpha /\alpha )^{2} ,\alpha =\pi asin\theta /\lambda $,$ a$是缝宽.称$ ( sin\alpha /\alpha )^{2}$为强度因子
4.6.2矩孔衍射的强度:$ I_{P} =I_{0}( sin\alpha /\alpha )^{2}( sin\beta /\beta )^{2}$,即乘上两个方向的强度因子
4.6.3一些讨论:单缝衍射的零级衍射斑即几何光学的像点,亮斑角宽度$ \Delta \theta =\lambda /a$,但零级亮斑宽度为此再乘以2
4.7分辨本领
4.7.1圆孔夫琅禾费衍射:艾里斑角半径$ \Delta \theta =1.22\lambda /d$, $ d$为圆孔半径
4.7.2瑞利判据:一个圆斑但中心刚落在另一圆斑的边缘,则恰能被分辨.最小分辨角$ \delta \theta {min} =1.22\lambda /D$ ,$ D$为物镜的直径
4.8光栅/多缝夫琅禾费衍射
4.8.1光栅常数$ d=a+b$,$ a$为缝宽,$ b$为不透明部分宽
4.8.2 N缝衍射$ I{\theta } =A^{2}_{0}( sin\alpha /\alpha )^{2}( sinN\beta /sin\beta )^{2}$ ,$ \alpha =\pi asin\theta /\lambda ,\beta =\pi dsin\theta /\lambda $其中$ ( sin\alpha /\alpha )^{2}$是单缝衍射因子,$ ( sinN\beta /sin\beta )^{2}$是缝间干涉因子.各个极大的半角宽度$ \Delta \theta =\lambda /Ndcos\theta {k}$. 单缝衍射因子还将造成缺极,以及影响极大值的强度.
4.8.3正弦光栅和黑白光栅(好烦啊懒得看了)
4.8.4光栅公式$ sin\theta =k\lambda /d$,对应不同波长$ \theta $不同,故可用于分光
4.8.5角色散本领$ D{\theta } \equiv \delta \theta /\delta \lambda =k/( dcos\theta {k})$ , 线色散本领$ D{l} \equiv \delta l/\delta \lambda =fk/( dcos\theta _{k})$ ,设光栅后聚焦透镜焦距为$ f$,则有$ \delta l=f\delta \theta $
4.8.6色分辨本领$ R\equiv \lambda /\delta \lambda =kN$ , $ \delta \lambda $为能分辨的最小波长差
4.8.7光栅使用要求:$ \lambda _{max} < d$,最大波长小于光栅常数;$ \lambda _{min} >\lambda _{max} /2$
4.8.8闪耀光栅,不将能量全集中在中央主极大而是集中在1级或更后面的条纹上. 槽面法向与光栅宏观平面法向的夹角为$ \theta _{b}$,叫闪耀角. 在垂直槽面入射的时候$ 2dsin\theta _{b} =k\lambda _{kb}$,在垂直宏观面入射的时候$ dsin2\theta _{b} =k\lambda _{kb}$:将能量集中在$ \lambda _{kb}$光波的k级条纹上.
4.8.9三维光栅-X射线在晶体上衍射:Bragg条件-对于一个晶面族(一个晶体可有多个晶面族),只有满足$ 2dsin\theta =k\lambda $ ($ d$是晶格组成的面之间的间距),才能有主极大
4.8.10当用连续谱X射线照射单晶体,每个晶面族都从中选出符合自己布拉格条件的$ \lambda $来,主极大处出现亮斑,这样的现象称劳厄相.当用单色的射线照在多晶粉末上时,摆放方向不同的晶体亦选出了符合它们布拉格条件的方向,产生亮斑,这样的现象叫得拜相.
5偏振-光波是横波,以电矢量为光波中振动矢量的代表
5.1偏振片,它能透过的振动方向称为透振方向.在赛璐璐基片上蒸镀一层硫酸碘奎宁.
5.2几种光
5.3菲涅耳反射折射公式
5.3.1$ \overset{\sim }{E}_{1p} '=\frac{tan( i_{1} -i_{2})}{tan( i_{1} +i_{2})}\overset{\sim }{E}_{1p}$ $ \overset{\sim }{E}_{2p} =\frac{2n_{1} cosi_{1}}{n_{2} cosi_{1} +n_{1} cosi_{2}}\overset{\sim }{E}_{1p}$ $ \overset{\sim }{E}_{1s} '=\frac{sin( i_{2} -i_{1})}{sin( i_{1} +i_{2})}\overset{\sim }{E}_{1s}$ $ \overset{\sim }{E}_{2s} =\frac{2n_{1} cosi_{1}}{n_{1} cosi_{1} +n_{2} cosi_{2}}\overset{\sim }{E}_{1s} =\frac{2cosi_{1} sini_{2}}{sin( i_{1} +i_{2})}\overset{\sim }{E}_{1s}$
5.3.2反射率和透射率
$ \overset{\sim }{r_{p}} =\frac{tan( i_{1} -i_{2})}{tan( i_{1} +i_{2})}$ $ \overset{\sim }{r_{s}} =\frac{sin( i_{2} -i_{1})}{sin( i_{1} +i_{2})}$ $ \overset{\sim }{t_{p}} =\frac{2n_{1} cosi_{1}}{n_{2} cosi_{1} +n_{1} cosi_{2}}$ $ \overset{\sim }{t_{s}} =\frac{2n_{1} cosi_{1}}{n_{1} cosi_{1} +n_{2} cosi_{2}}$
5.3.3布儒斯特角$ i_{B}$,使p分量的反射率为0,反射光总是线偏振的,透射光部分偏振,多叠几层就很接近线偏振了
5.4双折射
5.4.1o光和e光.oe不分开的光线传播方向称光轴.光线沿某个面入射,此面法向和光轴组成的平面叫主截面.入射线在主截面内时,两折射线一定在入射面(现与主截面重合)内.
5.4.2$ v_{e} < v_{o}$负晶体,$ v_{e} < v_{o}$正晶体.定义$ n_{e} =c/v_{e}$,虽然没有普通折射率的含义,仍与$ n_{o}$合称主折射率
5.5晶体偏振器(略)
5.6波晶片(相位延迟片) 表面与晶体光轴平行,分解成oe光,方向不变,速度不同,产生相位差$ \Delta =\frac{2\pi }{\lambda }( n_{o} -n_{e}) d$ 再合成产生椭圆偏振光.常用的是1/4波片,相位延迟$ \pi /2$ 
5.7受到应力的地方产生各向异性-产生干涉条纹-光测弹性仪
5.8克尔效应-电场产生双折射-$ \Delta /2\pi =BE^{2} d/\lambda $ $ B$为克尔常量,$ \Delta $与E的取向无关.介质为硝基苯 泡克尔斯效应-介质换成$ KH_{2} PO_{4}$,与E的一次成正比
5.9旋光-仍是线偏振,但是振动面旋转了角度$ \psi $.$ \psi =\alpha Nd$,d为厚度N为浓度,$ \alpha $为比旋光率
5.10磁致旋光-$ \psi =VlB$ ,$ V$为韦尔代常量,光的方向反转时旋光方向不变(与晶体的旋光不同)