只是想复习一下
mathjax好像不能完全渲染出latex的内容，比如exist是∃，以及infin是∞，可能是我的语法不够严谨罢，但是在我的编辑器typora中是可以渲染的。
一、函数
1.1实数集
集合、集合的表示方式、常用的符号（N、$ N^{+} $、C、R、$Q$、$Q^c$、Z）…… 有限集、无限集（按元素个数分类） 无穷集的元素个数比较： 可列(数)集、不可列(数)集，以能否一个个列出来作为分类标准 N={0,1,2,3......}可列；$Q^+$={p/q | p,q$\in$$N^+$, (p,q)=1}可以用pq列个表格然后斜着列，故也是可列集 可数集的势为$\aleph_0$，实数集的势为$\aleph$，我们用顶上画两杠表示“势”。对于有限集，其势就是其元素个数。 幂集：由A的所有子集构成的集合，记作$2^A$，$\overline{\overline{2^A}}=2^\overline{\overline A}$，若$\bar{\bar A}=\aleph_0$则$\overline{\overline{2^A}}=\aleph$，我们亦可以有幂集的幂集…… 由此得出结论：没有最大势，有最小势$\aleph_0$。另外，我们假设不存在介于$\aleph_0$和$\aleph$之间的势（连续统假设）。
稠密性：任意两个有理数之间有着无穷个有理数。（无理数也是稠密的） 连续性：实数充满整个数轴、没有空隙、没有间断。
逻辑符号：$\forall$、$\exist$……简单 P$\rightarrow$Q，P推出Q成立，P为Q的充分条件，“$\rightarrow$”叫“必要性”。反之。 P$\leftrightarrow$Q ，PQ互为充要条件，也可记为P iff Q (if and only if)。
区间和邻域：实数集R的子集叫数集（所以来说复数集不是数集）。区间和邻域本身的定义略。 左邻域$(x_0-\delta,x_0]$，右邻域类似，还有去心的左、右邻域。
常用不等式：如下 1.$a\le b \le c \rightarrow |b|\le max{|a|,|c|}\le |a|+|c|$ 2.三角 $||a|-|b||\le|a\pm b|\le |a|+|b|$ 3.Schwarz $|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k|\le\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\le (\sum_{k=1}^na_k^2)^{1/2}(\sum_{k=1}^nb_k^2)^{1/2}$ 第二个等号的证明由$\sum_{k=1}^n(|a_k|+|b_k|t)^2\ge 0$对任意t成立，展开由t的二次方程$\Delta\le0$得。 4.Bernoulli $(1+x)^n\ge 1+nx,n\in \N^+,x>-1$当且仅当x=0时等号成立。 5.A-G $n/(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...\frac{1}{x_n})\le(x_1x_2x_3...x_n)^{1/n}\le (x_1+x_2+x_3+...x_n)/n$用数归证之可也。
A-G不等式技巧：待补充
$a\le b \leftrightarrow \forall \epsilon >0 \ 有 a<b+\epsilon$，证明如下： $\rightarrow$：$a\le b<b+\epsilon$ $\leftarrow$：反证。设$a>b$，取$\epsilon=(a-b)/2>0,\rightarrow a<b+\epsilon=(a+b)/2$，而$a>b\rightarrow a>(a+b)/2$，故矛盾。
数集的界 界的定义：$\exist E\subset \R,E\ne\empty $，若$M\in\R,\forall x\in E,x\le M$，那么称M为E的一个上界，则$\forall M'>M$也是E的一个上界（上界不唯一，没有最大上界）。同理，我们也可以定义下界m。这些上(下)界中，上(下)确界才具有特殊性。 上(下)确界的定义：$E\subset\R,E\ne\empty$，若$\exist \beta \in \R,s.t. \forall x\in E,x\le \beta\ ;\forall \beta'<\beta,\exist x_0\in E,x_0>\beta'$那么上确界$supE=\beta$。同样可以定义下确界$infE$。上下确界统称为确界。 有界集：既有上界又有下界的数集。 一个集合，若存在最大/小数，则存在上/下界等于它；若上/下确界存在，不一定存在最大/小数，因为可能是取不到。 上下界如果存在，则必存在上下确界。（确界存在定理）上下确界如果存在，则必唯一。 我们把A无上界记为$supA=+\infin$，无下界记为$infA=-\infin$；对于空集，我们有$sup\empty=-\infin,inf\empty=+\infin$。
1.2函数
T是由X到Y的映射 $T:X\rightarrow Y,x|\rightarrow y=T(x)$，把T(x)叫做x在映射T下的像，x叫做y在映射T下的一个原像。定义域D(T)=X，值域R(T)是Y的一个子集，不一定充满整个Y。 单射：x不同时y就不同，或者说值域中没有复用的点 满射：Y中所有点都有X中的值对应，或者说值域填满Y集合 双射：即使单射又是满射，或者说x与y一一对应 与正整数集一一对应的集合叫可数集，两个一一对应的集合的势相等。 实数集中的任意一块的势都是$\aleph$，因为可以用tanx来和实数集作一一对应。 任何函数都是从定义域到值域的一个满射。 双射可以把X和Y换一换，那么就叫做逆映射，函数的逆映射叫反函数。 如果整个定义域上f不是严格单调的，我们也可以取出一段区间$I$来求反函数。 反函数的相消性质：$f^{-1}[f(x)]=x,\forall x\in D(f)\ ;f[f^{-1}(x)],\forall x\in R(f)$
两个非空实数集之间的映射叫做**(实)函数**。X、Y含有一个复数集就叫复函数 对定义域X中的每个x，都存在唯一的函数值f(x)与之对应，称这样的函数为单值函数。 不给出明确的定义域，那么定义域就是使函数表达式有意义的范围，这样的定义域叫自然定义域。对于有实际背景的函数，定义域还受到实际条件的约束。
几种函数： 绝对值$y=|x|$、取整$y=[x]$、恒等$I(x)=x$、符号$sgn(x)={-1,x>0\ ; 0,x=0\ ;1,x<0}$、Dirichlet$D(x)={1,x\in \Q\ ;0,x\in \Q^c}$、Riemann$R(x)={1/q,x=p/q,(p,q)=1\ ;0,x\in \Q^c\ ;1,x=0or1.x\in [0，1]}$ 取整是不大于x的最大整数，有$x-1\le [x]\le x\ ;[x]\le x\le [x]+1$。狄利克雷函数和黎曼函数都是常用的反例。
两个函数相等，指定义域和对应关系都一样。
复合映射、复合函数： $(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X^*$要求g的值域和f的定义域的交集不为空，x的实际的定义域要同时满足两个定义域的需求。
函数的性质： 奇偶性、单调性、有界性(有上界且有下界)、周期性 单调性可以是≥或者≤，但是严格单调就只能是>或<。 有界性用数集的有界性来定义，上下界并不唯一。 f有界$\exist M>0,\forall x\in I ,|f(x)|\le M $，f无界$|\forall M >0,\exist x\in I ,|f(x)|>M$； f有上界$\exist M\in R,\forall x\in I ,f(x)\le M$，f无上界$\forall M\in R,\exist x\in I ,f(x)>M$。 就是说把$\forall$和$\exist$交换，把不等号换成互补的那个，有无下界类似。 最小正周期，不是所有周期函数都有，比如常数函数和D函数就没有最小正周期。
初等函数： 基本初等函数：$y=c;y=x^a,a\ne 0;y=a^x,a>0,a\ne 1;y=log_a x,a>0,a\ne 1 x>0$，三角函数、反三角函数。 注意反三角函数的定义域和值域。 初等函数：基本初等函数进过有限次 加减乘除、复合 运算。 分段函数一般不是初等函数；如果分段函数能用初等函数表示出来那么也行，比如$y=|x|=\sqrt{x^2}$ 然而sgn(x),[x]都表示不出来，都不是初等函数。 双曲函数是初等函数$sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}$
隐函数：F(x,y)=0
参数方程：${x=x(t),y=y(t)$
极坐标方程：$r=r(\theta),\theta\in {[\alpha ,\beta ]}$ 定义域得要求$r\ge 0$以及$\theta$的区间宽度是2π（如果这个函数的周期是2π的因数的话），这样才能和直角坐标系一一对应。 函数周期比2π大则要绕更多圈（找和2π的公倍数）。
几种函数/方程类型的转化： 并不是所有的隐函数都能化成通常意义上的单值函数，有时候要规定定义域。 ${x=rsin\theta,y=rcos\theta$代入$f(x,y)=0$，即得$r(\theta)$； $f(x,y)=0$的显化；待补充 ${x=x(t),y=y(t)$把$t$用$x$解出来，再把$t(x)$代入$y(t)$即得$y(x)$； 参数方程怎么得到？用什么形式的元？待补充
二、极限与连续
2.1数列的极限
定义域为正整数集的函数$f:N_+\rightarrow R,x_n=f(n),n\in \N$称为数列。 同样有单调、严格单调、有界、有上界、有下界的定义。 单调增数列一定有下界，单调减数列一定有上界。 注意如果仅仅说单调，要讨论是增还是减。 另，讨论有界时注意数列看作函数的话，定义域非常有限，n=1开始，故像1/n不要误判为无界了。
极限：对${x_n}$，若$\exist A\in \R,\forall \epsilon >0,\exist N\in \N,\forall n>\N $有$|x_n-A|<\epsilon$，称A是${x_n}$的极限，也称${x_n}$收敛，记$\lim_{n\rightarrow\infin} x_n=A$。 若不存在，则称这个数列发散或不收敛。 证明f(x)的极限是A：分析，要$|f(x)-A|<\epsilon $，然后靠放缩实现简化，找到一个$n(\epsilon)$，然后取N，按定义证明。 放缩在于让$n$很大的时候还是指向这个极限，而且$n$和$\epsilon $之间的关系变得简单。（适当放大法） 技巧：待补充
无穷小：$\lim x_n=0$则称${x_n}$为无穷小，$\lim x_n=A \leftrightarrow lim|x_n-A|=0$。 有限个无穷小的和是无穷小，有界变量和无穷小的积是无穷小，两个无穷小的和差都是无穷小
无穷大：$\forall G>0,\exist N\in \N,n>N$时，$|x_n|>G$，则称${x_n}$为无穷大量；若是$x_n>G$，正无穷大量；若是$x_n<-G$，负无穷大量。 记为$\lim x_n=\infin $或$\pm\infin$ 发散的数列不一定是无穷大，比如$(-1)^n$；无穷大的数列一定发散。 无穷大的数列一定无界；但是无界数列不一定无穷大，比如$xsinx$。 有限个正负无穷大的和是正负无穷大；差是不一定的；无穷大加有界量是无穷大；无穷大乘有界量是不一定的，给出有界量的绝对值大于一个非零数则可以。
$\lim x_n=\infin \leftrightarrow \lim 1/x_n=0$.
子列：设${n_1,n_2...}$是正整数集的子集，且$n_{k+1}>n_k,k=1,2...$，则数列${x_{n_{1}}},{x_{n_{2}}}...{x_{n_{k}}}$是${x_n}$的一个子列（或称子数列、部分数列）。 就是原数列取出无穷多项，保证顺序不变。 ${x_n}$无上界$\leftrightarrow $${x_n}$有一个子列为无穷大
极限的性质： 唯一性：$\lim x_n=A ,\lim x_n=B $则$A=B$。 $\forall \epsilon >0,\exist N\in \N,\forall n>N$有$|x_n-A|<\epsilon /2,|x_n-B|<\epsilon/2$，故$|A-B|=|(A-x_n)+(x_n-B)|\le|x_n-A|+|x_n-B|<\epsilon $故$A=B$。 有界性：收敛的数列是有界的（注意有界的数列不一定收敛） 取$\epsilon =1 ,\exist N\in \N,\forall n>N,|x_n-A|<\epsilon=1,$故$|x_n|-|A|\le |x_n-A|<1,$故$|x_n|<|A|+1,n>\N$，故有上界$sup{x_n}=max{|A|+1,x_1,x_2...x_n}$。下界类似。 改变数列的有限项，其收敛性不变，且收敛到的极限值也不变 改动有限项，则必有最后一项，取$N=max{N_1,N_2}$即可。 保序性：$\lim x_n=A,\lim y_n=B,A>B,$则$\exist N\in \N ,$当$n>N$时$,x_n>y_n$ 保号性：把$y_n$或$x_n$变成0，即可得到此推广。 再推广，有$\lim x_n=a>0\rightarrow \exist N\in \N，\forall n>N, x_n>c,c\in (0,a)$。 证明只要取合适的$\epsilon$便可，让值的变动范围比所需要的范围窄。 不等式性：$x_n\le y_n\rightarrow \lim x_n\le \lim y_n$，注意如果去掉那个等号则不一定成立，比如$1/n<2/n$但是$\lim 1/n=\lim 2/n=0$。 这其实是保序性的逆否命题。 归并性：$\lim x_n=A\leftrightarrow {x_n}$的任意子列都收敛且收敛于A，$A\in[-\infin,+\infin]$。 推广，只要这些收敛于A的子列能覆盖所有的元素，那么就可以推出原数列收敛于A 如果两个子列收敛在两个不同的数，那么原数列不收敛。 对推广的证明：$\forall \epsilon >0,\exist N \in \N ,|x_{2n}-A|<\epsilon,|x_{2n+1}-A|<\epsilon$，故$n>2N $时，$|x_n-A|<\epsilon$
证$sinx$发散 反证，设$\lim sinx=A$，则$\lim cosx=\lim sin1cosx(\frac{1}{sin1})=\lim \frac{1}{2sin1}[sin(x+1)-sin(x-1)]= \frac{1}{sin1}(A-A)=0$，$\lim sin 2x=\lim 2sinxcosx=0$，sin2x是sinx的子列，故$\lim sin2x=\lim sinx=A$，则A=0，故$\lim(sin^2x+cos^2x)=0$，然非也。
2.2数列极限的性质和运算法则
极限的四则运算： $\lim x_n=A,\lim y_n=B$ 。 $\lim(px_n+qy_n)=pA+qB,p,q\in \R;\lim (x_n y_n)=AB;\lim(x_n/y_n)=A/B,B\ne0$。 注意只能是有限项，对于无限项的情况，应先求和、积，再求极限。另外，A、B要存在，不能是$\infin$。 证明，用无穷小的性质来证明即可。 推论，如果$\lim x_n=A$，那么$\lim x_n^k=A^k$，k是正整数。
一个空手套白狼的例子： 证$\lim ^n\sqrt{a}=1,a>0$ 分类讨论，$a=1$显然。$a>1$记$b_n=^n\sqrt{a}-1$，则$a=(1+b_n)^n\ge 1+nb_n$，于是$|^n\sqrt{a}-1|=b_n\le (a-1)/n$。$\forall \epsilon >0$，取$N=[\frac{a-1}{\epsilon}]$，当$n>N$时，就有$|^n\sqrt{a}-1|\le (a-1)/n<\epsilon$，故$\lim ^n\sqrt{a}=1$。$0<a<1$时，用倒数则$1/a>1$，用前面结论以及极限的运算法则。
另一个例子： 若$x_n\ge 0,\lim x_n=A\ge 0,m\in Z_+$，证$\lim ^m\sqrt{x_n}=\lim ^m\sqrt{A}$ 若 $A=0$, 由 $\lim _{x \rightarrow \infty} x_n=0, \forall \varepsilon>0$, 取 $\epsilon_1=\epsilon^m, \exists N \in \N$, 当 $n>N$ 时, 有 $x_n=\left|x_n-0\right|<\varepsilon_1=\varepsilon^m$, 从而$\left|\sqrt[m]{x_n}\right|=\sqrt[m]{x_n}<\varepsilon$,故得$\lim \sqrt[m]{x_n}=0=\sqrt[m]{A} $ 若$A>0$ ，在公式$a^m-b^m=(a-b)\left(a^{m-1}+a^{m-2} b+\cdots+b^{m-1}\right)$中取 $a=\sqrt[m]{x_n}, b=\sqrt[m]{A}$, 得到$\sqrt[m]{x_n}-\sqrt[m]{A}=\frac{x_n-A}{\sqrt[m]{x_n^{m-1}}+\sqrt[m]{x_n^{m-2} A}+\cdots+\sqrt[m]{A^{m-1}}}\le\frac{x_n-A}{\sqrt[m]{A^{m-1}}}$ ，而$\lim (x_n-A)=0$，故$\lim (\sqrt[m]{x_n}-\sqrt[m]{A})=0$，故得。
推论，如果$\lim x_n=A,x_n\ge0$，那么$\lim x_n^k=A^k$，k是正有理数。 如果取负有理数，是否还成立？成立……吧。
对于无穷项的情况，不能用极限的运算法则，得先求和再求极限。
2.3数列极限存在的判别法
夹逼定理 若对数列${x_n},{y_n},{z_n}$，$\exist N\in \N$，当n>N时，$z_n\le x_n\le y_n$，且$\lim y_n=\lim z_n=A$，则$lim x_n=A$ 证明用$\varepsilon$很容易。
运用夹逼定理做题，两边放缩，极限一样，便可得耶！放缩常用A-G不等式等技，另有分子有理化等杂项。 A-G不等式常常建立在1的身份变幻上，而去根号则通常是为了能变得单调而取出极限。 分式则除以最高次幂，然后用极限的运算法则即可得，含根号的分式也如此，不要直接看，含根号时答案可能和直觉相悖。 $ln(1+x)\le x,x>1\ ;\ 1<ln(x)<x,x>3 $ 无穷减无穷，通常通分
一些例子 证$\lim x^{1/x}=1$。 $1\le x^{1/x}\le (\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\cdot1\cdot\cdot\cdot1)^{1/x}\le \frac{2\sqrt{x}+x-2}{x}\le \frac{2}{\sqrt{x}}+1$，两边夹逼得$1\le x^{1/x}\le 1$
Stolt公式 设${y_n}$严格递增且趋于无穷大，若$\lim \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=A$，则$\lim x_n/y_n=A,A\in [-\infin,+\infin]$。 尤其用于一坨东西加在一起，但是作差之后就只剩一项的情况。
单调有界数列极限存在定理 若${x_n}$单调增加(减少)且有上界(下界)，则${x_n}$收敛，且收敛于上(下)确界。 证明：设 ${x_n}$单调增加且有上界,由确界定理知它有上确界, 记为 $A$, 由上确界的定义得: $\forall \varepsilon>0, \exists x_N \in{x_n}$, 满足$x_N>A-\varepsilon$。依单调性, 当$n>N$ 时, 有$x_n\ge x_N>A-\varepsilon$但 $A$ 为数列的上确界, 从而 $x_n \leqslant A<A+\varepsilon$, 故当 $n>N$ 时, $\left|x_n-A\right|<\varepsilon$。于是$\lim x_n=A $。同理可以证明: $\left{x_n\right}$ 单调减少且有下界时收敛到其下确界。
看到$(1\pm1/n)^n$这样类似的类型，直接往e上靠，直接提出是e的部分，在分子or分母，然后去处理剩下的。
单调，作差或者作商；有界，放缩，先猜范围再用数学归纳法去证明。 若是摆动的，${x_n}$不单调可以考虑${x_{2n}},{x_{2n+1}}$单调，或者考虑$|x_n-A|$的单调。
区间套定理 若 $\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] \subset\left[a_n, b_n\right], \forall n \in \N_{+}$, 且在 $\lim \left(b_n-a_n\right)=0$, 则存在唯一实数 $\xi, \forall n \in \N$, 有 $a_n \leqslant \xi \leqslant b_n$。换言之，$\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infty}\left[a_n, b_n\right] $ 证 由条件知, 数列 ${a_n},{b_n}$ 满足$a_n \leqslant a_{n+1}<b_{n+1} \leqslant b_n, \forall n \in \N_{+}$，故数列${a_n}$单调增加且有上界$b_1$，故存在$\xi=sup{a_n}$使得$\lim a_n=\xi, a_n \leqslant \xi $，同理也有$\eta=inf{b_n}$使得$\lim b_n=\eta, b_n \geqslant \eta$。而由 $\lim \left(b_n-a_n\right)=0$，导出$a_n \le \xi \leq b_n \quad\left(\forall n \in \N_{+}\right)$，即 $\xi \in \bigcap_{n=1}^{\infin}\left[a_n, b_n\right] $。又若存在 $\bar{\xi}$ 也满足 $\forall n \in \N_{+}, a_n \leqslant \bar{\xi} \leqslant b_n$ ，那么$0 \leqslant|\bar{\xi}-\xi| \leqslant b_n-a_n$，则导出$\bar{\xi}=\xi$, 这就证明了 $\xi$ 的唯一性。 这是体现实数连续性的一个重要定理。
2.4函数的极限
定义：设$f(x)$在点a的一个去心邻域内有定义，若存在实数A,$\forall \epsilon>0,\exist\delta>0$使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-A|<\epsilon$，则称当x趋向于点a时，函数$f(x)$的极限是A，或者说它收敛于A，记为$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=A$。 上面这个叫做“$\epsilon -\delta$定义”，乃考试之重点尔。 关键在于求$\delta=\delta(\epsilon)>0$，通常来说用分析法，$|f(x)-A|\le \cdot\cdot\cdot\le M|x-a|=M\delta<\epsilon$，其中M是与x无关的常数 关键的关键在于提出$|x-a|$这个项，此时就需要高端的放缩技巧，以及各种变形技巧（比如三角函数公式）。